Résumé : le comportement du sable intéresse beaucoup les physiciens, en particulier le comportement des avalanches. Il est possible, sur un ordinateur, de simuler le comportement de ces avalanches grâce à ce que l’on appelle des automates cellulaires. Le but du problème consiste donc à simuler des avalanches, à calculer leurs tailles et la fréquence en fonction du temps.
Mots-clés : simulation, automate cellulaire, distribution.
Le sujet est inspiré d’un article intitulé La physique du tas de sable par Jacques Durand, directeur de recherche au CNRS et paru dans la revue du Palais de la découverte, vol 23 No 224 de janvier 1995.
En guise d’introduction, on peut prendre un exemple de l’utilité de la physique du tas de sable. Il s’agit du comportement de l’animal appelé fourmi-lion. Le fourmi-lion est un insecte assez familier dans nos contrées dont la larve creuse un piège en forme d’entonnoir dans un sol sablonneux. Ainsi, et comme il est expliqué, les bords de l’entonnoir ainsi préparés se trouvent à l’angle critique d’avalanche. Une proie qui s’aventure sur cette déclivité déclenche immanquablement une avalanche qui l’entraîne dans le fond du trou où le fourmi-lion la dévore à loisir.
Autre citation tirée de cet article. Charles de Coulon était un ingénieur militaire du XVIIIe siècle. Entre autres, il s’intéressa aux talus de protection que l’on édifiait alors autour des batteries d’artillerie. Il fit observer que, pour un matériau granulaire donné, il était impossible de dépasser une inclinaison maximum pour la pente du talus. Il en fournit une explication reliée à l’angle de frottement, dit angle de Coulon, dont il donna une définition remarquablement pertinente. On peut observer une manifestation d’angle critique sur en remblai d’autoroute en construction.
L’explication des avalanches est la suivante. Pour la plupart d’entre nous, le processus d’avalanche évoque un phénomène aux conséquences le plus souvent catastrophiques. Cependant, le mécanisme même des avalanches présente des caractéristiques fondamentales qui en font un objet particulièrement intéressant.
Tout d’abord, et c’est bien connu, le déclenchement des avalanches de neige, de sable ou d’autres milieux granulaires est extrêmement sensible à de faibles perturbations. On sait qu’une avalanche en montagne peut être provoquée par le simple son de la voix des randonneurs ou par le décollement d’une pierre qui descend le long d’une pente caillouteuse et finit par entraîner au cours de sa chute des masses considérables de rochers. C’est un exemple typique de l’adage : aux petites causes, les grands effets ! Ce qui, traduit en langage scientifique, est la caractéristique d’un système placé dans un état critique.
Lorsqu’une avalanche est déclenchée, on observe en première approximation que l’empilement de granulaires va évoluer de telle manière qu’il se retrouve de lui-même, et spontanément, à la fin de chaque avalanche encore dans un état critique. En d’autres termes, le piège du fourmi-lion est particulièrement efficace parce qu’il se retend toujours après avoir fonctionné. Il est toujours régénéré dès qu’un insecte s’est fait entraîné par l’avalanche précédente au fond du trou. Cette propriété qui peut être aisément observée expérimentalement à l’aide d’un petit montage constitue la grande originalité des systèmes d’avalanches dont on dit qu’ils sont critiques auto-organisés.
Pour traiter numériquement le comportement d’une avalanche, on va définir un système constitué d’un empilement de petits carrés (ou grains de sable) placés en colonnes de hauteurs décroissantes en allant de gauche vers la droite. On laisse tomber au hasard un carré supplémentaire sur cet empilement et on applique les deux règles suivantes :
Notre modèle unidimensionnel et parfaitement rustique d’avalanche étant constitué, qu’allons-nous mesurer ? Pour répondre à cette question, il faut remarquer que les avalanches générées dans une situation réelle présentent des tailles très variées de l’une à l’autre. Certaines grosses avalanches entraînent vers le bas une grande quantité de matière tandis que d’autres, plus petites, ne font dévaler que quelques granulés vers le bas. Ainsi, pour mesurer la taille de ces avalanches et en établir la statistique, on enregistre le nombre de petits carrés qui sortent sur le côté droit du système.
Ceci peut être représenté par une balance qui recueille les carrés qui ont dévalé jusqu’au bord. Cette expérience est réalisable d’ailleurs expérimentalement tout simplement en pesant, à chaque avalanche, la quantité de matière qui est expulsée d’un petit plateau. Ainsi peut-on réaliser, dans une expérience réelle et sur ordinateur, une statistique qui représente la loi de distribution D(S). On obtient ainsi le nombre D d’avalanches de taille S et ceci pour un grand nombre d’avalanches successives. Alors, en procédant ainsi, que donne le calcul par automate cellulaire et que donnent les expériences réelles ? C’est le but de cet exercice.
Il faut imaginer deux façons de le résoudre : une façon graphique permettant de représenter le comportement des avalanches où l’on observe les situations initiales, puis les chutes des corps aléatoirement et, enfin la récupération de ce qui est tombé à la fin d’une avalanche ; une deuxième façon de procéder est de faire cette simulation sans graphique ce qui permet d’accélérer la simulation et de prendre beaucoup plus de sommets ou de points. De la sorte, il faudra enregistrer, sous forme statistique, le nombre d’avalanches de tailles 1, 2, 3, etc. Ensuite, on interprétera les résultats graphiquement. Il est conseillé, dans ce cas, d’utiliser des coordonnées logarithmiques et d’observer le comportement de la distribution sur la base d’une échelle logarithmique en x et en y.
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