Chapitre 59
Mouvements imprévisibles

Résumé : En observant des particules dans un liquide, on constate une suite de déplacements aléatoires, indépendants et isotropes ; il s’agit du mouvement brownien.

Mots-clés : nombre aléatoire, mouvement brownien, déplacement, distribution.

Enoncé

L’exercice s’inspire de la lettre No 41 Mouvements aléatoires de Bernard Vuilleumier, Centre informatique pédagogique, Genève, 1995.

En 1827, le botaniste anglais Brown découvre, en examinant au microscope des grains de pollen dispersés dans une goutte liquide, le mouvement qui porte aujourd’hui son nom. Si l’on désire observer ce mouvement, il suffit d’examiner, à l’aide d’un bon microscope, une suspension de particules dont la taille n’excède pas un ou deux micromètres. On constate alors que les particules effectuent, indépendamment les unes des autres, des mouvements incessants et désordonnés. Une particule en suspension dans un liquide reçoit, de la part des molécules de ce liquide, des millions de chocs par seconde. D’après l’hypothèse statistique de l’équipartition des vitesses moléculaires, la particule subit sensiblement le même nombre de chocs de chaque côté. Si elle est trop grosse, elle ne se déplace pas. Mais si elle est suffisamment petite, les fluctuations dans la répartition des chocs ne sont plus négligeables. La particule est soumise à une série d’impulsions et, comme elle a une faible inertie, elle effectue des déplacements désordonnés qui fournissent en quelque sorte « le ralenti » des mouvements moléculaires.

Un mouvement brownien est donc une suite de déplacements aléatoires qui sont mutuellement indépendants et isotropes. Il existe plusieurs modèles de mouvements aléatoires :

• le mobile se déplace sur un axe, par pas d’une unité chaque fois, dans l’un ou l’autre sens, avec des probabilités égales ;
• le mobile se déplace sur un réseau d’un espace euclidien à n dimensions. A chaque étape, le mobile effectue un déplacement d’une unité dans l’un ou l’autre des 2n sens possibles, avec des probabilités égales ;
• le mobile effectue un premier déplacement dans une direction aléatoire, puis un second dans une autre également choisie au hasard, etc. Les directions et les déplacements sont aléatoires et peuvent obéir à des lois de distribution quelconques.

Ces modèles sont utilisés dans de nombreux domaines où interviennent des processus stochastiques : diffusion moléculaire en chimie et en physique, déplacement d’organismes en biologie, évolution de marchés financiers en économie.

Le but du problème consiste donc à représenter le mouvement brownien suivant les modèles présentés ci-dessus. On s’intéressera également au mouvement parcouru et au mouvement brownien dans l’espace.

Indications

Pour représenter un mouvement brownien sur une droite horizontale, il suffit de faire correspondre à -1 un pas en arrière et à 1 un pas en avant.

Pour un mouvement aléatoire sur un réseau carré, il suffit de considérer une liste d’incréments : (0,1), (1,0), -1,0) et (0,-1).

Pour calculer les distances, le carré de la distance parcourue après n étapes est donné par r² = (x_f - x_i)² + (y_f - y_i)² où (x_i,y_i) et (x_f,y_f) sont respectivement les coordonnées des positions initiales et finales. En prenant l’origine comme position initiale, on obtient simplement r² = x_f² + y_f².

En prenant le logarithme d’un loi de puissance du type < r² >= n^v, on obtient log(< r² >) = v log(v). En reportant log(< r² >) en fonction de log(n), on obtient une droite dont la pente fournit l’exposant critique v.

Solutions

La solution actuellement proposée est donnée par les fichiers MatLab : MouvBrownien.m.