Résumé : les abeilles sont des êtres admirables et économes de leurs biens précieux. Ainsi, pour construire leurs alvéoles, les abeilles réussissent à les construire de sorte que la surface de cire soit minimale.
Mots-clés : géométrie, polygone, polyèdre, minimisation.
L’exercice s’inspire du livre Curiosités géométriques d’Emile Fourrey, Vuibert, Paris, 1907.
« Lorsqu’on examine un gâteau de cire construit par les abeilles pour y déposer leur miel, on constate qu’il est constitué par des alvéoles juxtaposées dont l’axe est horizontal et dont l’ouverture a la forme d’un hexagone régulier. Il existe deux séries de ces cellules qui se rejoignent par leurs fonds au milieu du gâteau et dont les ouvertures se trouvent sur les faces opposées de ce dernier.
« Le corps de l’alvéole se compose d’un prisme hexagonal droit. Le fond n’est pas un plan, mais une surface concave formée par 3 losanges égaux ayant un sommet commun ; à chaque cellule peuvent ainsi être adossées trois cellules de la série opposée ayant chacune avec la première un losange commun. Les angles des losanges ont respectivement pour valeur 109∘28′ et 70∘32′ ; le côté de l’hexagone mesurant en moyenne 2,71mm et la profondeur de l’alvéole 11,3mm. Quant à l’épaisseur des parois du fond, elle est à peine le tiers de celle d’une feuille de papier ordinaire ; l’ouverture de la cellule est d’ailleurs renforcée par un rebord de cire. Cette ouverture est enfin fermée au moyen d’une plaque hexagonale de même nature pour empêcher le miel de couler.
« Nous savons que le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone sont les seuls polygones réguliers qui puissent se juxtaposer sans vides. Les deux premiers présenteraient trop d’espaces angulaires non utilisés pour les larves ; l’hexagone, au contraire, se rapproche davantage du cercle et offre à cet égart plus de commodité.
« Mais le but de l’abeille paraît être surtout de chercher à épargner la cire, qui est un produit perdu pour l’insecte. L’adossement des cellules permet déjà de supprimer un fond : de plus l’hexagone, comme nous le démontrerons bientôt, est, des trois polygones réguliers qui peuvent se juxtaposer sans laisser de vides, celui qui pour une surface donnée a le plus petit périmètre et qui, par conséquent, exige le moins de cire pour les parois. Enfin, la section hexagonale étant admise pour les raisons qui précèdent, les dimensions adoptées par les abeilles pour le fond rhomboïdal correspondent à la plus petite surface totale pour l’alvéole et, par la suite, à la plus petite quantité de cire, ainsi que nous le montrerons dans le prochain paragraphe. L’instinct des abeilles les conduit donc à résoudre deux intéressants problèmes de minimum.
« On avait remarqué dans l’Antiquité la forme hexagonale des alvéoles des abeilles. Aristote (4e s. av. J.-C.) dans son Histoire des animaux et Pline l’Ancien (1er s.) dans son Histoire naturelle en font mention. Pappus (4e s.) paraît avoir été le premier à traiter géométriquement la question. Au début du livre V de ses Collections, il considère cette forme de la section des alvéoles comme étant motivée par la double condition de recouvrir le plan et de correspondre au périmètre minimum pour une surface donnée.
« Mais il ne semble pas qu’on ait remarqué la forme rhomboïdale du fond avant le 18e siècle. Un neveu de Cassini, Maraldi, astronome à l’Observatoire de Paris, détermina expérimentalement avec précision les angles des losanges ; il trouva 109∘28′ et 70∘32′ pour les valeurs de ces angles (1712). Réaumur, soupçonnant que les abeilles devaient être guidées dans la construction du fond par la raison d’économie, proposa au géomètre allemand Kœnig, sans lui faire connaître au préalable les résultats de Maraldi, la résolution du problème suivant : « Entre toutes les cellules hexagonales à fond composé de trois rhombes égaux, déterminer celle qui peut être construite avec le moins de matière. » Kœnig traita la question par le calcul différentiel et trouva que les angles des losanges de la cellule minimum devaient être 109∘26′ et 10∘34′ (1739).
« La concordance avec les mesures de Maraldi était déjà surprenante ; mais il y a mieux. Mac Laurin prouva en 1743 que Kœnig avait commis une erreur dans ses calculs et que les véritables valeurs des angles auxquelles on était conduit en résolvant ce problème étaient précisément celles indiquées par Maraldi, soit 109∘28′ et 70∘32′.
« Buffon (Discours sur la Nature des Animaux), comparant les abeilles à des automates dépourvus de toute connaissance et tout raisonnement, avait émis l’opinion que la forme hexagonale des alvéoles était due à une cause simplement mécanique : elle devait être obtenue par la compression naturelle des corps des abeilles creusant en groupe des cavités dans un massif de cire : « Qu’on remplisse, dit-il, un vaisseau de pois ou plutôt de quelque autre graine cylindrique, et qu’on le ferme exactement après y avoir versé autant d’eau que les intervalles qui restent entre ces graines peuvent en recevoir ; qu’on fasse bouillir cette eau, tous ces cylindres deviendront des colonnes à 6 pans. On en voit clairement la raison, qui est purement mécanique ; chaque graine, dont la figure est cylindrique, tend par son renflement à occuper le plus d’espace possible dans un espace donné, elles deviennent donc toutes nécessairement hexagonales par la compression réciproque. Chaque abeille cherche à occuper de même le plus d’espace possible dans un espace donné ; il est donc nécessaire aussi, puisque le corps des abeilles est cylindrique, que leurs cellules soient hexagonales, par la même raison des obstacles réciproques. »
« Mais cette assertion a été depuis reconnue fausse, notamment par Huber de Genève qui, malgré sa cécité, a fait d’intéressantes observations sur les abeilles par les yeux de son fidèle domestique Burnens. Le mode de construction des cellules est en réalité tout autre que celui imaginé par Buffon. Huber a observé que les insectes commencent à former une très mince cloison dans laquelle ils sculptent les fonds rhomboïdaux ; c’est sur les bords de ces fonds qu’ils viennent ensuite établir les parois de cire formant le pourtour de l’alvéole. Cette première cloison, d’abord de très petite étendue, est ensuite agrandie au fur et à mesure que l’avancement du travail l’exige ; les cellules s’exécutent une à une et non toutes ensemble comme l’avait pensé Buffon.
« Par quels moyens l’abeille arrive-t-elle à exécuter, avec la précision que nous avons signalée, les constructions géométriques nécessaires à l’établissement de l’alvéole ? Nous n’avons pas connaissance que cette observation ait été faite. Toutefois, Lalanne a fait remarquer que l’insecte possède en lui tous les instruments nécessaires. En vertu de la symétrie de son corps par rapport à l’axe longitudinal, les extrémités des antennes et des pattes d’une même paire sont en effet sur une perpendiculaire à cet axe ; d’où possibilité pour elles d’élever une normale à une droite, comme on pourrait faire au moyen du T des dessinateurs. De plus, les antennes peuvent servir de compas ; et le corps entier, en prenant un mouvement de rotation autour d’un point auquel se fixeraient les deux pattes d’une même paire décrirait un arc de cercle en chacun de ses points. Le tracé de la ligne droite est aussi une conséquence immédiate de la possibilité de tracer une perpendiculaire ; et, quant au plan, il peut se régler sur deux droites qui se coupent, par un procédé analogue à celui suivi dans la taille des pierres.
« L’abeille domestique n’est d’ailleurs pas la seule qui exécute de pareilles constructions géométriques. Réaumur a signalé, dans le tome VI de son Histoire des insectes, une autre espèce, l’abeille empileuse, dont les cellules creusées dans la terre sont tapissées et obturées par des fragments en forme de cercle parfait ou de portion d’ellipse qu’elle découpe dans des feuilles de rosier.
« Réaumur a proposé de prendre l’alvéole comme base d’un système de mesures invariables. « La longueur du pendule déterminée dans un pays dont la latitude est bien connue donne une mesure fixe qui été longtemps désirée des Sçavants, une mesure à laquelle toutes celles dont on veut avoir une connoissance précise et sûre doivent être rapportées. Nous ne serions pas aussi embarrassés que nous le sommes souvent sur les mesures des Anciens s’ils eussent connu cette mesure fixe. Nous en aurions une autre, qui, quoique moins exacte, suffiroit pour bien des cas, s’ils nous eussent donné les mesures des cellules des abeilles ; car il est plus que probable que les abeilles d’aujourd’hui des environs d’Athènes et de Rome sont de la même espèce que celles qui y étoient autrefois ; que celles d’aujourd’hui ne font pas des alvéoles plus grands ou plus petits que ceux que faisoient les abeilles qui travailloient dans les temps où les Grecs et les Romains ont été les plus célèbres. M. Thévenot avoit pensé aussi, comme nous le rapporte Swammerdam, à prendre une mesure fixe d’après les cellules des abeilles » (Histoire des Insectes, tome V).
Pour construire la surface, il faut considérer un prisme à base hexagonale régulière ; puis on coupe le prisme à une hauteur h. On construit ensuite les losanges en coupant un coin sur deux.
On calcule ensuite la surface totale de cette cellule. En dérivant et en recherchant les zéros de la fonction dérivée, on obtient les valeurs de l’angle optimal.
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