Résumé : le ruban de Möbius est étrange, car il comporte une face et un seul côté. Cet objet mathématique intéressant en topologie, est facile à construire.
Mots-clés : représentation dans l’espace, projection, surface.
August Ferdinand Möbius (Shulpforta 1790 - Leipzig 1868), astronome et mathématicien allemand, eut l’idée étrange de concevoir une surface à un seul bord et un seul côté formé par la torsion d’une longue bande de papier sans fin. M. C. Escher eut, lui, l’étrange idée de représenter cette surface, appelée ruban de Möbius en y faisant circuler des fourmis.
On remarque intuitivement que l’on peut déformer une courbe continûment pour en obtenir une autre. Ainsi une droite peut être déformée pour obtenir une ligne brisée, où une courbe non fermée, etc. Un cercle peut être déformé continûment pour obtenir un carré, etc. On dit alors que ces courbes sont topologiquement équivalentes. Par analogie, les surfaces délimitées par un cube ou une sphère sont topologiquement équivalentes. La topologie est la partie des mathématiques qui étudie cette notion intuitive de continuité et de limite.
Le ruban de Möbius est une surface très intéressante à étudier du point de vue de la topologie. On se contentera dans ce problème de la représenter dans l’espace.
Pour représenter un ruban de Möbius, il suffit d’imaginer une droite perpendiculaire aux bords du ruban. Celle-ci tourne autour de son point milieu en se déplaçant le long d’un cercle.
Le schéma ci-après permet de représenter un point sur cette droite. Les paramètres à prendre en compte sont les suivants : l’inclinaison de la droite au départ, γ, la largeur du ruban, a, le rayon du cercle, r et l’angle de projection α (pour passage de 3D à 2D).
Le choix de φ(t) permet d’indiquer le nombre de fois où la droite tourne complètement sur elle-même. γ n’est pas indispensable ; ce paramètre permet toutefois une meilleure vision du ruban. s varie entre -a et a, alors que t varie entre 0 et 2π.
La solution actuellement proposée est donnée par les fichiers MatLab : moebius.m et moebiusdemo.m.