Résumé : un homme, qualifié d’indécis, se dirige vers une amie puis, il change d’avis en cours de route et se dirige vers une autre. La simulation du parcours de cet indécis conduit à des trajets limites difficiles à déterminer au début de l’expérience mais, en tous cas, très esthétiques.
Mots-clés : hasard, nombres aléatoires, homothétie, simulation, fractal.
Ce problème est extrait du Bulletin APMEP, n ∘391, de décembre 1993. Le titre original est Le territoire de l’indécis ; il a été écrit par Jean Delcourt de l’Equipe imagiciels du CREEM-CNAM.
Un individu I, représenté par un point du plan, hésite entre plusieurs ami(e)s1 A, B, C,... Depuis sa position initiale notée I0, il se dirige d’abord vers A, en ligne droite, mais change d’avis à mi-parcours, et se dirige alors vers B, puis change d’avis à mi-parcours, et se dirige vers C, etc... Il se dirige ainsi vers chacune de ses amies dans un ordre circulaire, et l’on constate que son parcours approche d’un parcours limite.
Supposons maintenant que l’on modifie la règle du jeu : l’indécis continue à se diriger vers l’une de ses amies ; il continue à changer d’avis à mi-parcours, mais fait alors un tirage au sort entre les amies et se dirige vers celle que le sort a désignée... pour changer à nouveau d’avis à mi-parcours.
Lorsque le tirage se fait entre toutes les amies, avec équiprobabilité, il est facile de constater, par une simulation sur micro-ordinateur, que le parcours de l’indécis doit être dense dans le triangle ABC (ou plus généralement dans l’enveloppe convexe de l’ensemble des amies).
Mais les choses deviennent plus surprenantes lorsque l’indécis choisit, aléatoirement, une amie différente de celle vers laquelle il se dirigeait. On constate qu’il semble y avoir des positions ‘interdites’, et que l’indécis semble confiné dans un territoire tourmenté. Pour démarrer, il est conseillé de prendre quatre amies disposées aux sommets d’un carré ABCD.
La situation décrite peut bien sûr être généralisée ; modifier le nombre des amies ne change pas grand chose. Contentons-nous de modifier le degré d’attraction de chacune des quatre amies.
Le problème consiste à représenter graphiquement le territoire de l’indécis en autorisant la modification des paramètres (nombre d’amies, degrés d’attraction).
La méthode classique consiste à étudier la suite des positions de I (notée In) en la définissant par récurrence. Celle-ci permet de résoudre la première partie du problème sans même la simuler.
Pour la deuxième partie du problème, il est conseillé d’effectuer une simulation.
La solution actuellement proposée est donnée par les fichiers MatLab : indecis.m et indecisAleatoire.m.