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Chapitre 28
Trajectoire d’une balle de tennis

Résumé : comment se comporte une balle de tennis. La trajectoire est difficile à calculer car, il faut tenir compte de plusieurs forces. Cette trajectoire ne peut pas être obtenue analytiquement. Il faut donc passer par des approximations numériques.

Mots-clés : approximation, équation différentielle, trajectoire, force, fluide, accélération, frottement, effet Magnus.

Enoncé

Quelle est la trajectoire d’une balle de tennis ? Dans cet exercice, on souhaite construire un modèle réaliste tenant compte de la masse m et du diamètre d de la balle. La balle tournoie sur elle-même avec une vitesse angulaire ⃗ω (le vecteur ⃗ω a la direction de l’axe de rotation et comme longueur ω = dφ(t)∕dt = ˙φ(t), où φ(t) est l’angle de rotation).

Comme modèle, on peut considérer un point doté d’une masse se déplaçant sous l’influence des forces suivantes :

Les grandeurs des forces de frottement DL et de Magnus ML sont données par la théorie des fluides :

2 DL (v) = CD 1-πd-ρv2 2 4 1-πd2- 2 ML (v) = CM 2 4 ρv

où ρ est la densité de l’air. Les coefficients CD et CM dépendent pour les fluides (air) de la vitesse v, la rotation de la balle et le matériel qui constitue sa surface. Ces coefficients sont obtenus expérimentalement.

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Dans la littérature, on peut trouver que, pour une balle de tennis dont la vitesse v ∈[13.6,28]m∕sec et dont le nombre de révolutions n ∈[800,3250 ] rpm (révolutions à la minute), les coefficients CD et CM dépendent de v∕w seulement, où w = d∕2 ⋅|⃗ω × ⃗v∕v| est en quelque sorte la projection de la vitesse équatoriale ωd∕2 de la balle en rotation sur le vecteur vitesse ⃗v. Les expressions suivantes sont alors obtenues :

( )2∕5 CD = 0.508 + ---------1---(--)--- 22.053+ 4.196 wv 5∕2 1 CM = ------------(v-) 2.022+ 0.981 w

Pour une balle de tennis, on peut négliger la décélération de la révolution de la balle, donc w est constant.

La trajectoire de la balle est alors définie par les équations de Newton pour le vecteur position ⃗r(t) :

2 m d-⃗r(t)= - m ⃗g - D ⃗v-+ M ⃗ω-× ⃗v- dt2 L v Lω v

avec les conditions initiales

d⃗r- ⃗r(0 ) = ⃗r0 et dt(0) = ⃗v0

Cette équation est un système non linéaire de trois équations différentielles et aucune solution analytique n’existe pour elle, il faut donc la résoudre numériquement.

En pratique, le cas le plus fréquent est celui où la balle n’a pas d’effet, pour lequel la vitesse angulaire reste dans un plan horizontal et perpendiculaire au vecteur ⃗v0 et donc, d’après l’équation ci-dessus, reste perpendiculaire au vecteur ⃗v(t), pour t ≥ 0 ; de sorte la trajectoire reste dans un plan vertical. Considérons l’axe x dans ce plan, l’équation ci-dessus devient alors :

¨x = - CD αvx˙+ ηCM αv ˙z ¨z = - g - CD αv ˙z - ηCM αvx˙

où v = √ -2----2 ˙x + ˙z et α = (ρπd2)∕(8m). Le paramètre η = ±1 décrit la direction de la rotation. Les conditions initiales pour t = 0 sont :

x(0) = 0, z(0) = h, x˙(0) = v0cos(ϑ), z˙(0) = v0sin(ϑ)

où v0 est la grandeur de la vitesse initiale ⃗v0 et ϑ est l’angle entre ⃗v0 et l’axe des x.

Pour tout savoir sur le tennis, on trouvera également ci-après les équations paramétriques permettant de représenter la couture d’une balle de tennis :

π- π- x = λ(acos(θ + 4) - bcos3(θ + 4)) π- π- y = μ(asin(θ + 4)- b sin 3(θ + 4 )) z = csin(2θ)

où

(z ) λ = 1+ d sin(2θ) = 1+ d c- (z ) μ = 1- d sin(2θ) = 1- d c-

et le paramètre θ = 2πt, et 0 ≤ t ≤ 1.0. Si d = 0 et c2 = 4ab, alors la courbe est située sur une sphère de rayon a + b.

Le problème consiste donc a représenter le mouvement et la couture de la balle de tennis. Il est tiré de Mathematical Elements for Computer Graphics de David F. Rogers et J. Alan Adams chez McGraw-Hill, 1990 et de Solving Problems in Scientific Computing Using Maple and Matlab de Walter Gander et Jiří Hřebíček chez Springer-Verlag, Berlin, 1993.

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Indications

En raison de la nature non linéraire du problème, il faut utiliser des méthodes numériques pour le résoudre. Pour résoudre un système de n équations différentielles avec conditions initiales

d⃗x ---= ⃗f(t,⃗x) dt

où ⃗x = (x1,x2,…,xn), on peut utiliser la fonction MatLab ode23 (ou ode45), qui implémente une méthode optimisée de Runge-Kutta d’ordre 2 et 3 (respectivement 4 et 5).

Il faut définir une fonction-m pour chaque modèle selon le schéma suivant :

function xdot=tennis(t,x)  
xdot(1)=  
xdot(2)=  
xdot(3)=  
xdot(4)=

où xdot(i) représente la i-ème équation différentielle. L’utilisation de ode23 se fait comme suit :

ode23(’tennis’,tmin,tmax,x);

où ’tennis’ indique le nom de la fonction-m, tmin et tmax les bornes de t et x est une matrice contenant les conditions initiales pour x(i).

Solutions

La solution actuellement proposée est donnée par les fichiers MatLab : balleTennisDemo.m, balleTennisDemo.mat, balle_tennis.m et btennis.m.

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