Résumé : des comportements complexes basés sur des règles simples peuvent produire des situations étonnantes dans lesquelles des régularités apparaissent. Un exemple est donné par la fourmi de Langton, un automate cellulaire qui simule le comportement d’une fourmi sur une grille.
Mots-clés : simulation, automate, chaos, hasard, régularité, mécanique statistique.
L’exercice s’inspire de l’article La diagonale de la fourmi de Ian Stewart, Pour la Science No 203, septembre 1994.
Le système mathématique appelé fourmi de Langton est un automate cellulaire très simple inventé par Chris Langton, de l’Institut de Santa Fé, au Nouveau Mexique. La fourmi part d’un carré central, dans une direction choisie, l’Est par exemple. Elle avance d’un carré et considère la couleur de la case atteinte : noire ou blanche. Quand elle atteint une case noire, elle la repeint en blanc et tourne de 90∘ à gauche. Quand elle arrive sur une case blanche, elle la repeint en noir et tourne de 90∘ à droite. Elle continue son chemin suivant toujours ces règles.
On observe pendant les 500 premiers pas des déplacements autour de la case centrale. Puis, pendant les 10000 coups suivants, l’image devient chaotique. Soudain elle construit une autoroute. La fourmi répète une période de 104 pas exactement qui la décale de deux cellules dans la direction Nord-Ouest et elle engendre une bande diagonale.
Plus étonnant encore, les règles donnent toujours une autoroute même si l’on dispose, avant le départ, des cases noires sur la grille. Personne n’a prouvé que la fourmi finit toujours par construire une autoroute.
On peut s’amuser à placer une ou plusieurs fourmis dans un environnement choisi et voir ce qu’elles font ; on peut modifier les règles, changer les environnements, choisir, par exemple, un treillis hexagonal à la place d’un quadrillage, on retrouve les mêmes propriétés. Ce comportement trouve une application : ces études s’appliquent en la mécanique statistique à des réseaux de particules qui, à tout instant, ne peuvent exister que dans un seul état parmi plusieurs.
On peut éviter la limitation à deux couleurs : la séquence-règle est une suite de n symboles 0 ou 1. Lorsque la fourmi quitte une case de couleur k, sa couleur change en k + 1 (en 0, si k = n- 1), et elle tourne à droite si le kième symbole est 1, à gauche si ce symbole est égal à 0. Elle avance alors d’une case et recommence.
Les règles initiales de Langton se résument à la séquence règle 10. Certaines donnent des dynamiques triviales. On pourra essayer les fourmis 100, 110, 1000, 1101 et 1100.
Prendre une grille comme une grille de mots-croisés. Placer la fourmi au centre, donner une direction initiale et déplacer suivant cette direction. Tester la couleur de la case et donner la nouvelle direction et la nouvelle couleur selon les règles mentionnées.
Deux types de programmes peuvent être écrits : une animation montrant les premiers mouvements et un programme donnant l’image finale. Suivant les séquences-règles, il faut en effet de la patience : l’autoroute n’apparaît qu’après 10000, 100000 ou plus itérations.
La solution actuellement proposée est donnée par les fichiers MatLab : fourmis.m. La fonction suivante a été fournie par Stéphane Darbéda : fourmies.m.