Résumé : L’œuvre d’Escher est fascinante ; on y retrouve plusieurs constructions impossibles : Belvédère, Montée et descente, Cascade. Certaines très simples ont inspiré d’autres artistes. L’ordinateur est capable de les représenter et, en choisissant un point de vue précis, on peut reproduire l’illusion.
Mots-clés : illusion, objet tridimensionnel, projection axonométrique.
L’exercice s’inspire du livre L’œuvre Graphique, Introduction et commentaires du graveur de M. C. Escher, Benedikt Taschen, Köln, 1992 et des lettres No 147 et 149 de Bernard Vuilleumier, CPTIC.
Mauritz Cornelius Escher, né le 17 juin 1898 à Leeuwarden, reçut au Lycée de Arnhem d’excellentes leçons de dessin de F. W. van der Haagen qui l’aida à développer ses dispositions pour l’art graphique en lui enseignant la gravure sur linoléum.
De 1912 à 1922, il fréquenta l’Ecole d’Architecture et des Arts Décoratifs de Haarlem, où il fut initié aux techniques graphiques libres par S. Jesserun de Mesquito, dont la forte personnalité eut une influence puissante sur son développement ultérieur d’artiste graphique. En 1922 il partit pour l’Italie et s’établit en 1924 à Rome. Pendant ce séjour il fit de nombreux voyages d’études et visita notamment les Abruzzes, la côte d’Amalfi, la Calabre, la Sicile, la Corse et l’Espagne. En 1934 il quitta l’Italie puis passa successivement deux ans en Suisse et cinq à Bruxelles. Depuis 1941 il habitait à Baarn en Hollande où il mourut le 27 mars 1972, âgé de 73 ans.
Dans la classification de M. C. Escher, on trouve trois constructions impossibles : Belvédère (lithographie, 1958), Montée et descente (lithographie, 1960) et Cascade (lithographie, 1961).
On s’intéressera dans cet exercice essentiellement à l’œuvre Cascade. Dans l’article de L. S. et R. Penrose paru en février 1958 dans le British Journal of Psychology, l’auteur publie le dessin en perspective d’un triangle. Une copie est reproduite ici. Il est composé de poutres rectangulaires qui se posent l’une sur l’autre à angle droit. Si nous observons les différentes parties de cette construction l’une après l’autre, nous sommes incapables de découvrir une erreur. Pourtant, c’est un ensemble impossible parce que la distance entre l’œil de l’observateur et l’objet peut s’interpréter différemment. Dans cette gravure on trouve une triple application de ce triangle impossible. La chute d’eau fait tourner la roue du moulin pour suivre ensuite un canal en pente qui descend en zigzaguant entre les deux tours vers le point où la chute d’eau prend son départ. Le meunier doit simplement ajouter de temps en temps un plein seau d’eau afin de compenser les pertes dues à l’évaporation. Les deux tours sont de même hauteur et pourtant celle de droite est un étage plus bas que celle de gauche.
Les constructions impossibles ont pour caractéristiques de ne pas choquer le regard de prime abord mais d’être absolument inconcevables pour l’esprit. Il n’est pas nécessaire d’être grand géomètre pour constater qu’elles se fondent sur l’association d’éléments incompatibles tout en paraissant obéir aux lois de la perspective (ou de la projection axonométrique).
Parmi les nombreux artistes intéressés aux objets impossibles, on a déjà cité M. C. Escher. L’artiste japonais Shigedo Fukuda a réalisé une maquette à trois dimensions de la cascade d’Escher – sans l’eau évidemment – qui, observée sous le bon angle, se présente exactement comme la gravure. Des objets réels peuvent donc parfaitement, dans certaines circonstances, se présenter sous l’aspect d’objets impossibles.
L’exemple simplifié ci-dessous peut se fabriquer simplement à l’aide d’empilement de cubes :
Dans cet exemple, on a choisi une projection axonométrique et un point de vue exact en spécifiant l’azimuth et l’élévation.
L’objet tridimensionnel de gauche prend l’aspect du tribarre impossible de Reutersvärd s’il est observé sous un certain angle :
Le but du problème est de représenter sur l’écran de l’ordinateur ces constructions impossibles. On recherchera également les angles pour lesquels l’illusion est réussie.
Représentez un cube unitaire (de côté un avec un sommet à l’origine et les arêtes parallèles aux axes). Ensuite, il suffit de les empiler pour obtenir une des constructions impossibles. Attention, comme les algorithmes de représentation des faces cachées sont sensibles aux superpositions de face, il est conseillé de couper certains cubes en deux...
La solution actuellement proposée est donnée par les fichiers MatLab : dessine3d.m, dessine3d.m, figescher.m et reutersvard.m.