Résumé : observer une vigne depuis un véhicule en mouvement est une expérience intéressante. Une forme d’illusion apparaît : certains ceps et piquets semblent apparaître et disparaître suivant le mouvement du véhicule. L’ordinateur peut également simuler cette expérience.
Mots-clés : projection plane, projection cylindrique.
L’exercice s’inspire du site Internet de Paul Kunkel :
http://www.nas.com/~kunkel/rungs/rungs.html.
Lorsque l’on se déplace sur un pont et que l’on observe deux rangées parallèles de barrières, on voit apparaître une forme d’illusion originale : à une certaine vitesse, il est difficile de distinguer les échelons individuellement ; ils apparaissent flous. On peut regarder entre eux mais pas au travers. De plus, ces échelons fantômes semblent se déplacer avec le véhicule.
Paul Kunkel aimait également se déplacer avec son automobile le long de l’autoroute 101 qui traverse la Californie. L’autoroute traverse de nombreux vignobles et vergers disposés en carrés et plantés de façon parfaitement régulière. Lorsque l’on roule et l’on observe les lignes, elles semblent s’élargir. On peut suivre avec les yeux la ligne jusqu’à l’extrémité du champ. L’auteur de ces exercices connaît bien ce phénomène puisque la Suisse, le Valais et Genève en particulier, offrent de nombreuses possibilités d’observer des vignobles depuis des routes rectilignes.
Le but de l’exercice est de reproduire ce phénomène. En supposant que la vigne soit infiniment large et profonde, est-il possible de trouver une ligne de ceps dans n’importe quelle direction ?
Les deux exemples mentionnés dans l’énoncé font appel aux propriétés des projections. Dans le cas des barrières parallèles sur le pont, on peut faire appel aux projections cylindriques pour simuler l’illusion. Pour la vigne, on utilise des projections planes. Le concept est simple. On prend l’intersection d’un rayon avec un cylindre pour la première projection ; l’intersection est calculée avec un plan pour la deuxième. Lorsque l’on garde un seul œil ouvert, que l’on maintient la tête parfaitement immobile et que l’on trace l’objet sur la vitre, on obtient une projection plane.
Lorsque l’on représente la vigne, les premiers ceps ont la même hauteur. En revanche, les images des ceps à l’arrière plan sont plus petites. Ces propriétés sont utiles, notamment pour la cartographie. Pour plus d’informations, on peut se référer à l’exercice intitulé De la mappemonde.
La solution actuellement proposée est donnée par les fichiers MatLab : vigne.m et clicvigne.m.