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Résumé : comment produire un show laser à partir du son ou de la musique ? Pour comprendre les phénomènes ondulatoires et pour comparer des signaux, les physiciens ont pendant longtemps utilisé les oscilloscopes. Jules Antoine Lissajous a inventé une méthode d’observation des signaux, notamment des ondes sonores. Actuellement, avec un ordinateur, on peut représenter les courbes qui portent désormais son nom.

Mots-clés : oscillations, déphasage, fréquence, modélisation.

Liens :

Autre applet : http://surendranath.tripod.com/Applets/Oscillations/Lissajous/LissajousApplet.html

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En Lissajous ! Feu !


L’exercice s’inspire de sites Internet, notamment :

www.mathcurve.com/courbes2d/lissajous/lissajous.shtml et

fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Lissajous.

Jules Antoine Lissajous est un physicien français (Versailles, 4 mars 1822 - Plombières, 24 juin 1880, professeur au lycée Saint-Louis et recteur de l’Académie de Chambéry puis Besançon) qui s’intéressait aux ondes. Il a imaginé une expérience dans laquelle il utilisait les fréquences sonores pour faire vibrer et osciller un miroir. Un trait lumineux était réfléchi par le miroir. L’observation de la trajectoire du point défini par le rayon réfléchi permettait de visualiser une courbe et ainsi, comparer les ondes sonores en indiquant leur rapport et leur déphasage.

C’est le même modèle qui est utilisé aujourd’hui pour piloter un rayon dans les shows laser actuels.

Cette expérience peut être également faite avec des oscilloscopes : les physiciens produisent deux signaux (en mode X - Y ) et comparent également leur rapport et le déphasage temporel. Les courbes affichées sur l’écran sont celles décrites par Lissajous et sont particulièrement spectaculaires.


Cette courbe est également appelée courbe de Bowditch (Nathaniel Bowditch (1733-1838), Américain) ou courbe d’Alice. Avant l’utilisation d’appareils digitaux de mesure de fréquences, les courbes de Lissajous étaient utilisées pour déterminer les fréquences des sons et des signaux radio. Un signal avec fréquence connue était appliqué le long de l’axe horizontal X, et le signal à mesurer était appliqué le long de l’axe vertical Y . Le résultat donnait le rapport des deux fréquences.

Les courbes de Lissajous ont été utilisées comme décors dans les films de science fiction pendant les années 50. Une série américaine fournit un bel exemple : The Outer Limits ; un avertissement était donné : « n’essayez pas d’ajuster l’image, nous contrôlons la transmission ». Le but de l’exercice est de représenter des courbes selon Lissajous.







Indications

Les équations du signal permettant d’obtenir une courbe de Lissajous sont :



avec 0 ≤ t < 2π. On prend souvent A = B, 20 Hz ≤ ω1,ω2 ≤ 520 Hz et -180∘≤ φ ≤ 180°.

Pour obtenir les courbes présentées dans la galerie ci-dessus, il suffit de prendre des fréquences en rapport entier entre elles : la première ligne est obtenue avec ω1 = ω2 et φ = 0°,45°,90°, la deuxième ligne est obtenue avec ω1 = 2 ⋅ω2 et les mêmes déphasages. Et ainsi de suite avec des rapports entiers ou fractionnaires.


La version java peut être testée ci-dessous: