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Résumé: quelle serait la réaction d’êtres à deux dimensions si un cube traversait leur monde plan? Il faut commencer à travailler par analogie; à se mettre à la place d’êtres unidimensionnels ou bidimensionnels pour tenter d’imaginer ce qu’est la quatrième dimension. On connaît le point, le segment de droite, le carré et le cube. Par analogie, on peut imaginer un cube de dimension quatre, l’hypercube.

Mots-clés: carré, cube, hypercube, dimension, projection, perspective, quatrième.

Solution : donnée en P5JS.

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La quatrième dimension

L’exercice s’inspire du livre La quatrième dimension, Voyage dans les dimensions supérieures de Thomas Banchoff, Pour la science, 1996 et du logiciel Hypercuber de Greg Ferrar.

Dans son Introduction aux dimensions, Thomas Banchoff explique:

«Observée au microscope, une amibe (organisme unicellulaire commun dans les eaux dormantes) semble condamnée à une existence à deux dimensions, confinée dans l’étroit espace compris entre la lame et la lamelle. En la regardant de dessus, nous découvrons comment elle se déplace, rencontre d’autres créatures semblables, capture des proies et fuit ses prédateurs. La membrane cellulaire de l’amibe forme une ligne de défense qui l’entoure entièrement et protège son noyau interne des menaces que constituent les autres créatures de la préparation. Toutefois les mots entourer et intérieur ne signifient pas la même chose pour nous, habitants de l’espace à trois dimensions, et pour les habitants de cet espace quasiment plat. Aucune amibe de la préparation ne pourrait entrer en contact direct avec le noyau d’une autre. Nous, au contraire, sommes capables d’observer ce micro-organisme de différents points de vue et d’en examiner les parties les plus intimes. Nous pouvons non seulement voir le noyau, mais aussi le toucher, ce qui surprendrait l’amibe et la laisserait perplexe, si elle avait les moyens de l’être. Notre perspective tridimensionnelle nous dévoile des aspects de cet univers microscopique que ne connaîtront jamais ses propres habitants.

Il y a un peu plus de cent ans, un petit livre brillant a exploité cette idée d’une interaction entre créatures de dimensions différentes afin d’inciter les lecteurs à se libérer d’une perspective limitée et à envisager de nouvelles manières de percevoir. Son auteur, Edwin Abbott, était pasteur et directeur d’école dans l’Angleterre victorienne.

Chef de file d’un mouvement constitué dans le but d’offrir aux jeunes gens et aux jeunes filles de toutes classes sociales la possibilité de s’instruire, il était choqué par les comportements sociaux dominants et le point de vue des classes dirigeantes sur l’éducation et la religion. De ses cinquante livres, celui qui reste le plus actuel est son petit chef-d’œuvre Flatland, à la fois satire sociale et introduction au concept de dimensions supérieures.

Flatland décrit une race d’êtres à deux dimensions vivant dans un plan et ignorant qu’il puisse exister quoique ce soit en dehors de leur univers. La façon dont ils vivent, interagissent et communiquent constitue la trame d’une histoire fascinante. Le narrateur, A Square (Un Carré, fait un travail remarquable en expliquant sa société et son monde au lecteur humain, qui vit dans ce que A Square nomme Spaceland (Terrespace).

Sa tâche tient du prodige car s’il nous est difficile d’imaginer comment ce monde plat apparaît à ses habitants, il est impossible au narrateur bidimensionnel d’apprécier la réalité de Spaceland. Ainsi il ne peut concevoir que nous soyons capables de voir la totalité de son propre univers. A la manière d’un scientifique observant les mouvements d’une amibe, nous pouvons suivre les évolutions des habitants de Flatland. Nous découvrons d’un seul regard toutes les parties d’une de leurs maisons, ainsi que le contenu de n’importe quelle pièce ou de n’importe quel endroit clos. Pour les habitants de Flatland, nous sommes ceux qui voient tout. Rien d’étonnant à ce que A Square, entendant parler pour la première fois de cette faculté supérieure de la vision, l’attribue à des êtres d’essence divine.

Pour aider A Square à comprendre la vision exhaustive que procure la troisième dimension, Abbott propose une analogie dimensionnelle. Il demande à A Square d’imaginer la vision qu’il aurait de Lineland (Terreligne), un univers à une dimension peuplé de segments de droite. A Square verrait simultanément toutes les créatures de ce monde. Le Roi de Lilleland, un long segment, serait extrêmement surpris si A Square le touchait en son milieu sans perturber aucune de ses extrémités.

De même qu’un être de Flatland voit l’intégralité de Lineland, nous avons, dans notre espace, une vision globale de Flatland. Dans le récit, cette analogie fait grande impression sur A Square. Il demande ce qu’éprouverait un être d’une quatrième dimension, «regardant du haut» et découvrant la totalité de l’espace à trois dimensions, l’intérieur du corps humain compris. Faut-il envisager ensuite des mondes à cinq ou six dimensions, voire davantage, chacun offrant une vision complète du monde qu’il inclut, et étant totalement soumis aux observations des habitants du monde qui le contient?»

Il est naturel de raisonner par analogie pour exprimer la notion de dimension: on peut commencer par un point de dimension zéro et sans degré de liberté. Un point qui se déplace en ligne droite engendre un segment, l’objet unidimensionnel de base. Un segment qui se déplace perpendiculairement à lui-même dans un plan engendre une figure à quatre sommets, le carré. En déplaçant le carré perpendiculairement à lui-même on obtient un objet tridimensionnel: le cube. En déplaçant le cube perpendiculairement à lui-même on obtient par analogie un hypercube, objet de dimension quatre, etc. On ne peut visualiser cette opération, mais on peut déduire aisément le nombre de sommets: seize.

Dans l'exemple ci-dessous, certains verront un carré, alors qu'il peut s'agir de la projection de face d'un cube, voire d'un hypercube projeté dans un espace tridimensionnel puis sur un plan (c'est le cas ici.



L’analogie est certainement l’idée dominante dans l’histoire de la notion de dimension. Les mathématiciens ont construit des chemins différents pour passer aux dimensions supérieures, créant des suites de figures analogues qui débutaient parfois très bas dans l’échelle des dimensions. Une des suites possibles commence par un point, de dimension zéro et sans aucun degré de liberté. Un point se déplaçant en ligne droite engendre un segment, objet unidimensionnel de base. Un segment se déplaçant perpendiculairement à lui-même dans un plan engendre une figure à quatre sommets, un carré, objet bidimensionnel de base.

Pour continuer dans la troisième dimension, nous déplaçons le carré perpendiculairement à lui-même pour former un cube, objet tridimensionnel de base. L’amibe serait incapable de se représenter cette étape, mais elle pourrait la suivre sur le plan théorique et en déduire certaines propriétés de ce cube impossible à voir, par exemple qu’il possède huit sommets. L’étape suivante consisterait à déplacer le cube dans une quatrième direction perpendiculaire à toutes ses arêtes. Nous obtiendrions un objet quadridimensionnel de base, un hypercube, et bien que nous ne puissions plus visualiser intégralement le processus, nous savons que cette figure présenterait seize sommets.

L’hypercube existe-t-il réellement? Les mathématiciens estiment qu’ils n’ont pas à répondre à cette question. Ils peuvent déterminer le nombre de sommets et de figures frontalières des équivalents du cube dans n’importe quelle dimension, que ces objets correspondent ou non à une réalité physique.

Pour visualiser les objets et leurs relations au-delà de la troisième dimension, l’instrument idéal est l’ordinateur.



Indications

Il est facile, par analogie, de dénombrer les sommets, les arêtes, les faces et les hyperfaces (qui sont des cubes ordinaires) d’un hypercube. Les sommets sont ceux du cube initial et ceux du cube déplacé, soit 16 en tout. Les sommets homologues des deux cubes sont reliés par une arête, et ces huit arêtes s’ajoutent aux 12 de chacun des deux cubes, ce qui fait en tout 8 + 12 + 12 = 32 arêtes pour l’hypercube. Enfin, on peut montrer que l’hypercube possède 24 faces carrées et huit hyperfaces cubiques.

Les 16 sommets de l’hypercube sont numérotés de 0 à 15 suivant un principe simple : en système de numération binaire, il suffit de quatre chiffres pour écrire ces nombres, soit un chiffre pour chacune des quatre coordonnées du sommet considéré. On code ainsi le sommet no 13 par le nombre binaire 1101 (car 8 + 4 + 0 + 1 = 13) ; avec le quadruplet (1,1,0,1) on obtient presque directement les quatre coordonnées initiales du sommet 13 de l’hypercube.

Après la définition des sommets et des arêtes, il faut effectuer des rotations sur l’hypercube. On détermine entièrement une rotation d’un solide ordinaire à trois dimensions par l’orientation de l’axe de rotation et la valeur de l’angle de rotation ; c’est faux pour un solide à quatre dimensions, car le choix de l’axe de rotation ne suffit pas à caractériser le plan dans lequel la rotation s’effectue : il y a en effet une infinité de directions planes perpendiculaires à une droite donnée. D’autre part, dans l’hyperespace à quatre dimensions comme dans l’espace ordinaire, une rotation d’un solide ne concerne que deux dimensions de ce solide. Lorsqu’on fait tourner un objet à trois dimensions, deux d’entre elles subissent une transformation, tandis que la troisième reste inchangée. Il en va de même pour un objet à quatre dimensions, dont deux sont modifiées et les deux autres inchangées.

Il existe de nombreuses façons de faire tourner un objet à quatre dimensions, mais on peut atteindre chacune des nouvelles configurations par une suite de rotations successives, chacune effectuée dans un plan de coordonnées. Dans l’espace quadridimensionnel, le système de référence comprend quatre axes que l’on peut combiner deux à deux de six façons différentes ; il existe donc six plans de coordonnées. Pour chacun des six plans de coordonnées, il existe une rotation qui peut être définie par une matrice.



Cette matrice est une matrice de rotation autour du plan XY . Pour trouver les coordonnées de l’hypercube après rotation on multiplie les coordonnées par cette matrice de rotation.

Pour la représentation, on peut projeter l’hypercube dans l’espace ordinaire ou, directement dans le plan. Il suffit dans le premier cas de ne considérer que les trois premières coordonnées et, dans le deuxième cas, les deux premières.

Version P5.JS. Instructions: utilisez les ascenseurs pour faire tourner l'hypercube autour des axes en dimension quatre.

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