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Résumé : en période de fête de Noël, le sapin est devenu un classique en matière de décoration. Avec l’aide des fractals, il est possible de donner une bonne représentation du sapin de Noël.

Mots-clés : fractal, récursivité.

Solutions :

La solution actuellement proposée est donnée par les fichiers MatLab : arbreFractal.m, paramArbreNoel.m et paramArbreNoel.fig.

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Ça sent le sapin. Un sujet épineux.


L’exercice s’inspire de plusieurs sites Internet qui donnent notamment l’histoire de l’arbre de Noël et des algorithmes pour construire des arbres à partir de fractals.

C’est au XIIe siècle que la tradition du sapin est apparue en Europe, en Alsace. On parle alors de décorer les maisons avec des branches coupées trois jours avant Noël.

Mais c’est en 1521 que le sapin ou arbre de Noël ou encore arbre du Christ a été mentionné pour la première fois en Alsace. Il fut probablement répandu en Alsace et dans la région de Bâle. Il représentait à l’origine l’Arbre d’Eden dans les mystères joués la veille de Noël sur les bords du Rhin. Pour le décorer, on attachait des pommes à ses branches.

En 1546, on parle sérieusement d’arbres de Noël quand la ville de Sélestat en Alsace autorise à couper des arbres verts pour Noël, au cours de la nuit de la Saint Thomas, le 21 décembre. A l’époque, l’église considérait l’arbre de Noël comme une pratique païenne. Et ce fut le cas jusqu’au milieu du XXe siècle. En fait, avant que la fête de Noël n’existe, il existait déjà un rite païen lors des fêtes du solstice : on décorait un arbre, symbole de vie, avec des fruits, des urs, du blé.

Plus tard, on accrocha une étoile au sommet de l’arbre, symbole de l’étoile de Bethléem qui guida les Rois Mages. Dès lors il conquit peu à peu les communes protestantes d’ Allemagne du nord et les grandes villes et occupa une place de choix dans les églises des deux religions.

En 1560, au moment de la Réforme, les protestants se refusent à représenter la Nativité par une crèche comme les catholiques. Ils préfèrent développer la tradition du sapin de Noël, arbre qui symbolise le paradis d’Adam et Eve et la connaissance du bien et du mal. La tradition du sapin de Noël se répand dans les pays d’Europe protestante, en Allemagne et en Scandinavie.



Au XVIIe et XVIIIe siècle on commence à voir des premiers sapins illuminés.

C’est au XIXe siècle que le sapin de Noël prend son essor. En France, l’arbre de Noël fut introduit à Versailles par Marie Leszcynska, femme de Louis XV en 1738. En 1837 Hélène Mecklembourg, duchesse d’Orléans et d’origine allemande fait décorer un sapin aux Tuileries. Cette tradition se généralisa après la guerre de 1870 dans tout le pays.

Les émmigrés d’Alsace-Lorraine font largement connaître la tradition du sapin aux français : « Là où il y a une famille alsacienne, il y a un sapin de Noël ». A la fin du XIXe siècle, tout le pays l’a adopté. D’autres variantes, tels les sapins extérieurs et artificiels, apparaîtront au tournant du XXe siècle.

L’arbre de Noël regroupe plusieurs symboles montrant les richesses que nous offre la nature : la lumière, les anges, les fruits du verger, des champs, de la forêt et de la mer. L’étoile qui brille à son faîte annonce la fin du voyage, le havre de paix.

Le but de l’exercice est de représenter un sapin de Noël de façon algorithmique, notamment en faisant appel à la récursivité. L’aspect fractal du sapin est évident : on constate que le sapin est formé de branches qui sont elles-mêmes des sapins en miniatures.

Indications

La récursivité est une technique de programmation extrêmement puissante permettant de résoudre les problèmes complexes comme par exemple, les fractals.

Les fractals peuvent être décrits, souvent, de façon très simple. La formulation est fondamentale pour mettre en œuvre la récursivité.

Pour décrire le sapin de Noël, on peut procéder comme suit.

Une branche est définie de la façon suivante :

1. on dessine la branche ;

2. on choisit un point sur la branche qui servira de point de départ de deux nouvelles branches qui seront placées de part et d’autre de la branche courante ;

3. on choisit l’angle et la longueur de ces deux nouvelles branches ;

4. on définit de façon récursive la branche de gauche ;

5. on définit de façon récursive la branche de droite.

Les valeurs d’angle, de longueur relative et la position du point de découpage sur une branche sont fixées par l’utilisateur (pour le sapin, on peut prendre des angles proches de 130o, et une longueur relative de 60%). On peut également définir trois couleurs pour les feuilles, les petites branches et les troncs (ou branches plus longues).