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Résumé : un tapis persan est une merveille artistique. L’ordinateur permet de simuler les motifs obtenus par les tisserands.

Mots-clés : tapis, motif, récursivité, Chosroès.

Solutions :

La solution actuellement proposée est donnée par les fichiers MatLab : khosrow.m

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Faire tapisserie

L’exercice s’inspire du livre Wonders of Numbers de Clifford A. Pickover, Oxford University Press, 2002.

Le tapis persan est une merveille artistique qui date de plus de 2500 ans. Les Iraniens faisaient partie des premiers tisserands des civilisations antiques.

Le luxe auquel est associé le tapis persan fournit un contraste fort avec ses débuts modestes parmi les tribus nomades de Perse. Alors c’était un article de nécessité contre les hivers rudes. Depuis c’est devenu un art notamment grâce aux couleurs vives et aux dessins magiques.

A cette époque, la fabrication d’un tapis exigeait beaucoup de persévérance. Même si elle était confiée à plusieurs personnes, le travail durait des mois. La clé de la fabrication résidait dans l’utilisation de couleurs vives nécessaires aux dessins complexes. Les secrets passaient de génération en génération. Les créateurs utilisaient les insectes, les plantes, les racines, les écorces et autres ingrédients comme source d’inspiration.

En 1949, des archéologues soviétiques ayant à leur tête le professeur russe, S. I. Roudenko, ont découvert le plus ancien tapis connu lors d’une excavation d’un monticule funéraire dans la vallée de Pazyryk, dans les monts Altaï en Sibérie. Le tapis avait été préservé miraculeusement dans un tombe. Peu de temps après l’inhumation, des voleurs avaient pillé la tombe. Ils ont ignoré le tapis mais, après l’ouverture, de l’eau a pénétré dans la tombe. En gelant, le tapis a pu être conservé pendant des siècles. Le tapis date du troisième ou quatrième siècle avant Jésus Christ. Il est conservé actuellement au musée de l’Hermitage à Saint-Petersburg.


Pendant la dynastie des Sassanides, entre le troisième et le septième siècle après Jésus Christ, les tapis persans ont gagné du prestige au niveau international et un statut d’exportation. Le plus célèbre était le tapis d’hiver ou du printemps de Chosroès II (531-579), un tapis énorme d’une grande splendeur, fabriqué pour le hall de réception du palais de Ctésiphon, capitale des Sassanides, et décrivant un jardin symbolique. Selon des sources arabes postérieures, ce tapis comportait un motif d’un réalisme étonnant : il représentait un énorme jardin avec des massifs de fleurs, des pierres, des arbres et des cours d’eau, que figuraient des fils d’or et d’argent, de la soie et des pierres préciseuses ; il fallait qu’en pénétrant dans la grande salle du palais, le roi pût se figurer en toute saison qu’on était au printemps. On l’appelait également tapis d’hiver car il était utilisé par mauvais temps lorsque le jardin était inaccessible. Ce tapis avait une signification politique en tant que mesure de la puissance et des ressources du roi. Sa beauté soulignait le rôle divin du roi. Lorsque les Arabes ont battu les Perses et pris Ctésiphon en 637, le tapis est devenu une partie de leur fabuleux butin. On raconte qu’il a été partagé en nombreux morceaux et distribué aux soldats vainqueurs. Il mesurait 7.8 mètres carrés. Pourtant sa magnificence a survécu et le tapis est devenu source d’inspiration pour les poètes et les artistes.


Un ordinateur peut servir à recréer des tapis en faisant appel à des algorithmes très simples. Les motifs sont auto-similaires, c’est-à-dire qu’ils se retrouvent répétés à différentes échelles.


Le problème consiste à écrire un programme permettant de calculer et de représenter le profil de la suite de Syracuse pour tout entier ; il est également intéressant de mesurer les longueurs de parcours et les hauteurs maximales atteintes pour les suites. Il existe d’autres suites « à la Syracuse », notamment les suites de Prabekhar. Pour une de ces suites, on part d’un nombre N quelconque, on fait la somme des carrés de ses chiffres et cette somme constitue le second nombre de la suite auquel on réapplique le même algorithme... et ainsi de suite. Plus intéressante est la suite de Prabekhar où chaque nombre de la suite est égal à la somme des cubes des chiffres du nombre précédent.

Indications

Les symétries et les asymétries dans un tapis sont remarquables. On constate également que les motifs semblent se répéter à l’infini comme dans un miroir qui se refléterait indéfiniment.

Un algorithme qui permettrait de dessiner un tapis doit donc être récursif : le programme s’appelle lui-même. Clifford A. Pickover suggère de découper le tapis en quatre parties qui, elles-mêmes seront découpées en quatre et ainsi de suite.

On peut représenter le tapis par une matrice dont les dimensions sont des multiples de quatre. On fixe au départ une couleur pour le bord, puis on appelle une fonction de façon récursive : on fait appel à une deuxième fonction qui choisit une couleur que l’on utilise pour colorier les droites horizontales et verticales qui passent au centre du tapis. On rappelle alors la fonction quatre fois en donnant comme paramètre la partie en haut à droite, la partie en haut à gauche, la partie en bas à droite et la partie en bas à gauche du tapis.

Comme toute fonction récursive, elle doit s’arrêter à un moment. La condition d’arrêt est donnée par la coïncidence du bord droit et du bord gauche de la partie du tapis considérée.

La fonction qui détermine les couleurs peut être quelconque. Elle doit fournir une couleur suivant la position de la partie traitée dans la matrice. On peut prendre, par exemple, le reste de la division par le nombre maximal de couleurs de la moyenne des numéros des couleurs aux quatre coins du tapis avec un déphasage constant.